超几何分布是在不放回抽样中所出现的一种离散分布，代表着随机从总体中抽出n个元素，其中k个元素具备某种特定属性的概率分布。公式中包含期望和方差的算式，具体地说期望值为 (n * k) / N，方差为 (n * k / N) * [(N-k) / N] * [(N-n) / (N-1)]。这篇文章将会通过对超几何分布的解读、条件概率及公式推导等几个方面进行阐述，以便更好地理解期望和方差的计算方式。
我们需要了解什么是超几何分布。超几何分布是概率论和统计学中的一种离散分布，正如我们所提到的，它描述了在不放回抽样中，随机地抽出n个元素，并且其中k个元素具备某种特定属性的概率分布。这种分布通常被用于统计人口数据、样本调查以及抽样调查。
接下来，我们需要思考如何计算期望。期望经常被认为是表示随机变量分布中心位置的指标，但究竟是怎样计算期望的呢？对于超几何分布，期望的定义可以表述为随机变量X的平均值，即 E(X) = (∑x * P(X = x))。使用期望的定义，我们可以得出超几何分布的期望公式：
E(X) = n * k / N
在这个公式中，n表示抽样数量，k表示属性成功的元素数量，N表示对于超几何分布中待选择元素的总数。从公式中，我们可以看出期望的值会随着抽样数量n的增加而反比例地减少，但会随着属性成功的元素数量k和总体元素数量N的增加而正比例地增加。
我们来看方差的计算方式。方差在超几何分布中通常被描述为度量随机变量X的离散程度，即E[(X – E(X))^2]。这个计算公式的表达式复杂且涉及数学推导，但我们可以通过联想二项式分布的方差公式来推导超几何分布的方差公式，下面是二项式分布方差公式的形式：
Var(X) = np(1-p)
其中，n表示试验的次数，p表示每次试验的成功概率。
而对于超几何分布，我们同样可以推导出相似的方差公式：
Var(X) = (n * k / N) * [(N-k) / N] * [(N-n) / (N-1)]
在超几何分布中，我们可以将p替换成成功选择属性的元素数量k和总体元素数量N的比值，即k / N。通过这个公式，我们可以看到方差的值与属性成功的元素数量k成正比，且与抽样数量n和总体元素数量N的比值成反比。
超几何分布的期望和方差是确定这一概率分布中各要素的重要指标。由于期望和方差涉及到随机变量的分布和离散程度，因此在统计学、人口学和实证研究等领域中被广泛使用。了解期望和方差的公式表示方式和计算方法能够帮助我们更好地理解超几何分布的特性和应用。
